Cálculo Exemplos

$(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0$

Etapa 1.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x e^{y} + e^{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x e^{y} + e^{y})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x e^{y} + e^{y})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{y} + e^{y}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{y} + e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Etapa 2.4

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x e^{y}$ em relação a $x$ é $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Etapa 2.6

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}])$

Etapa 2.7

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (e^{y} + 0)$

Etapa 2.8

Some $e^{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - e^{y}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = - e^{y}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- e^{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- (x e^{y} + e^{y})$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- (x e^{y} + e^{y})$ por $N$ .

$\frac{0 - - e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- - e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 1 e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{0 + e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Etapa 4.3.2.2

Some $0$ e $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (x e^{y} + e^{y})}$

Etapa 4.3.3

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y} + e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y})}$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} x + e^{y} \cdot 1)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} x + e^{y} \cdot 1$ .

$\frac{e^{y}}{- (e^{y} (x + 1))}$

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y}}{- e^{y} (x + 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 1 (x + 1)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- 1 (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x + 1}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 5.2

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 1 |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- \ln (| x + 1 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 1 |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x + 1 |}^{- 1} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 1 |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x - 1) d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x - 1$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$(x - 1) \frac{1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x - 1$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- (x e^{y} + e^{y})$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - (x e^{y} + e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + (- (x e^{y}) - e^{y}) \frac{1}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- x e^{y} - e^{y}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{- x e^{y} - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.6

Fatore $e^{y}$ de $- x e^{y} - e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $e^{y}$ de $- x e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) - e^{y}}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Fatore $e^{y}$ de $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} (- x) + e^{y} \cdot - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- x - 1)}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $- x - 1$ e $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1)}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x) - 1 (1))}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7.4

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7.5

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + \frac{e^{y} (- 1 (x + 1))}{x + 1} d y = 0$

Etapa 6.7.6

Divida $e^{y} \cdot (- 1)$ por $1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x + e^{y} \cdot (- 1) d y = 0$

Etapa 6.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - 1 \cdot e^{y} d y = 0$

Etapa 6.9

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} d x - e^{y} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{y} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - e^{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int e^{y} d y$

Etapa 8.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$f (x, y) = - (e^{y} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique.

$f (x, y) = - e^{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y} + g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 11.3

Como $- e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{x - 1}{x + 1}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Etapa 12.3

Divida $x - 1$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Etapa 12.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Etapa 12.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 12.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 12.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Etapa 12.3.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$g (x) = \int 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 12.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 12.5

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 12.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 12.7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 12.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 12.9

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.9.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.9.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 12.9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12.10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12.11

Simplifique.

$g (x) = x - 2 \ln (| u |) + C$

Etapa 12.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$g (x) = x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{y} + x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 14

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique $- 2 \ln (| x + 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({| x + 1 |}^{2}) + C$

Etapa 14.2

Remova o valor absoluto em ${| x + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = - e^{y} + x - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C$