Cálculo Exemplos

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 x - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} + x$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} + x$ por $N$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.2.6

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Etapa 4.3.3

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Etapa 4.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Etapa 4.3.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Etapa 5.4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 5.4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 5.4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5.1.2

Divida $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.4.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.4.1.5.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Etapa 5.4.1.6

Mova $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Etapa 5.4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 5.4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 5.4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 5.4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 5.4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 5.4.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 5.4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 5.4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 5.4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 5.4.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 5.4.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 5.4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 5.4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 5.4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 5.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Etapa 5.5

Divida a integral única em várias integrais.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Etapa 5.6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Etapa 5.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Etapa 5.8

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.8.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.8.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.8.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 5.9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Etapa 5.10

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Etapa 5.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Etapa 5.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.12.1

Simplifique $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Etapa 5.12.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Etapa 5.12.3

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Etapa 5.12.4

Aplique a regra do produto a $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.12.5.1

Remova o valor absoluto em ${| x + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.2

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.12.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.12.5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.12.5.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.4.2

Some $x$ e $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.12.5.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.12.5.5.3

Reescreva o polinômio.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.5.5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Etapa 5.12.6

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 x y - y$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x y - y$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $2 x y - y$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y (2 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} + x$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x^{2} + x$ por $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 6.6.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.2.1

Mova ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 6.7.1

Fatore $x$ de $x {(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Etapa 8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Etapa 8.2.2

Reescreva $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ como $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Etapa 8.2.3

Simplifique.

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Etapa 8.2.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Etapa 8.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Etapa 8.2.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.13

Some $3 x^{2} + 6 x + 3$ e $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.3.15

Combine $y$ e $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4

Combine os termos.

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Etapa 11.5.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.4

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.9

Mova $6$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.10

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.11

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.13

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.15

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.16

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.17

Mova $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.18

Subtraia $x^{3} y$ de $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.19

Mova $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.20

Subtraia $3 x^{2} y$ de $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.21

Mova $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.22

Subtraia $3 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.4.23

Some $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.6

Fatore $y$ de $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.6.1

Fatore $y$ de $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.6.2

Fatore $y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.6.3

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.6.4

Fatore $y$ de $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.6.5

Fatore $y$ de $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.7

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.9.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.9.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.9.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.9.3

Simplifique cada termo.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 11.5.10

Reordene os fatores em $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2

Simplifique $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Reescreva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 12.1.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2.2.2

Reordene.

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Etapa 12.1.2.2.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Etapa 12.1.2.2.4

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Etapa 12.1.2.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 12.1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Etapa 12.1.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Etapa 12.1.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 12.1.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 12.1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 12.1.2.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 12.1.2.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Etapa 12.1.2.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Etapa 12.1.2.4.2

Some $x$ e $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 12.1.2.5

Expanda $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1.2.6.1

Combine os termos opostos em $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

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Etapa 12.1.2.6.1.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y x \cdot 1$ e $- y (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.1.2

Subtraia $2 x y$ de $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.1.3

Some $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.2.6.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.2.6.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 12.1.2.6.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.2.6.2.2.1

Mova $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Etapa 12.1.2.6.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Etapa 12.1.2.6.3

Subtraia $y x^{2}$ de $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Etapa 12.1.3

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $2 y x^{3}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Etapa 12.1.3.2

Subtraia $3 y x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Etapa 12.1.3.3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Etapa 12.1.3.4

Combine os termos opostos em $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

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Etapa 12.1.3.4.1

Subtraia $2 y x^{3}$ de $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Etapa 12.1.3.4.2

Some $3 y x^{2} - y$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Etapa 12.1.3.4.3

Subtraia $3 y x^{2}$ de $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Etapa 12.1.3.4.4

Some $- y$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Etapa 12.1.3.4.5

Some $- y$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 12.1.4

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 12.1.4.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 12.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Etapa 12.1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.4.3.1

Divida $0$ por $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$