Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.2.4.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 7.4.2

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Etapa 7.4.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Etapa 7.4.2.3

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Etapa 7.4.2.3.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Etapa 7.4.2.3.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 7.4.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 7.4.2.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Etapa 7.4.2.3.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 7.4.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 7.6

Simplifique.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1.1

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.1.2

Some $2 x^{- \frac{1}{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

Etapa 8.1.3

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Etapa 8.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.4.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Etapa 8.1.4.3

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.2.1

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 8.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.1.4

Reescreva a expressão.

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.4

Mova $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 8.4.2.1.5

Reordene $- x$ e $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$