Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $y \cot (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Etapa 2.2

Integre $- 1 \cot (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin^{- 1} (x)$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 2.7

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\csc (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Etapa 3.3

Multiplique $\csc (x) \csc (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Etapa 3.3.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Etapa 3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ por $\csc (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ por $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\csc (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.5

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.7

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.8

Separe as frações.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Etapa 8.3.1.9

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 8.3.1.10

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Etapa 8.3.1.11

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Etapa 8.3.1.12

Divida $C$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$