Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = \frac{(s^{3} - s) (4 t^{3} - 6 t)}{(t^{4} - 3 t^{2}) (3 s^{2} - 1)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d s}{d t} = \frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $s$ de $s^{3} - s$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Fatore $s$ de $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.1.1.2

Fatore $s$ de $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.1.1.3

Fatore $s$ de $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1^{2})} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = s$ e $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $s$ de $s^{3} - s$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Fatore $s$ de $s^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.2.1.2

Fatore $s$ de $- s$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.2.1.3

Fatore $s$ de $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1^{2})}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = s$ e $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.3

Fatore $2 t$ de $4 t^{3} - 6 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $2 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $2 t$ de $- 6 t$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $2 t$ de $2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.4

Fatore $t^{2}$ de $t^{4} - 3 t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{4}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} - 3 t^{2}})$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3})$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Fatore $t$ de $2 t (2 t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $t$ de $t^{2} (t^{2} - 3)$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)})$

Etapa 1.3.6

Multiplique $\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1}$ por $\frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Etapa 1.3.7

Cancele o fator comum de $3 s^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Etapa 1.3.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Etapa 1.3.8

Cancele o fator comum de $s (s + 1) (s - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Etapa 1.3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = s^{3} - s$ . Depois, $d u_{1} = (3 s^{2} - 1) d s$ , então, $\frac{1}{3 s^{2} - 1} d u_{1} = d s$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = s^{3} - s$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $s^{3} - s$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3} - s]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s^{3} - s$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 s^{2} + \frac{d}{d s} [- s]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d s} [- s]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- s$ em relação a $s$ é $- \frac{d}{d s} [s]$ .

$3 s^{2} - \frac{d}{d s} [s]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 s^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 s^{2} - 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $s^{3} - s$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{2 t^{2} - 3}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 2.3.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.3.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $t^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Divida $2 t^{2} - 3$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5.1.2

Divida $A (t^{2} - 3)$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $t^{2} - 3$ .

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Etapa 2.3.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.1.5.4.2

Divida $(B t + C) (t)$ por $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Etapa 2.3.2.1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Etapa 2.3.2.1.5.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.5.6.1

Mova $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Etapa 2.3.2.1.5.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Etapa 2.3.2.1.6

Mova $- 3 A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Etapa 2.3.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.3.2.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $t$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 3 = - 3 A$

Etapa 2.3.2.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

Etapa 2.3.2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 3 = - 3 A$

Etapa 2.3.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1

Reescreva a equação como $- 3 A = - 3$ .

$- 3 A = - 3$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- 3 A = - 3$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = - 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 3$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Etapa 2.3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.3.2.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.3.2.3.4

Resolva $B$ em $2 = 1 + B$ .

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Etapa 2.3.2.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.3.2.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.3.2.3.4.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 2.3.2.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Etapa 2.3.2.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Etapa 2.3.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{t} + \frac{1 t + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{t} + \frac{(1) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.2.1

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{1}{t} + \frac{t + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 2.3.2.5.2.2

Some $t$ e $0$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} + \frac{t}{t^{2} - 3} d t$

Etapa 2.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\int \frac{1}{t} d t + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Etapa 2.3.5

Deixe $u_{2} = t^{2} - 3$ . Depois, $d u_{2} = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u_{2} = t^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 t + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Etapa 2.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t^{2} - 3$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| t^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

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Etapa 2.3.11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| t^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.2

Para escrever $\ln (| t |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.3

Combine $\ln (| t |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\frac{\ln (| t |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.11.5.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.11.5.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.6

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| s^{3} - s |) = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C$