Cálculo Exemplos

$3 (y + 1) d x + x y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $3 (y + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$x y d y = - 3 (y + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (y + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{y + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- 3 (y + 1)) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y}{y + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida $y$ por $y + 1$ .

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Etapa 4.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 4.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Etapa 4.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Etapa 4.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 4.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.5.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.5.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.7

Simplifique.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 (\ln (| x |) + C_{4})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - 3 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$