Cálculo Exemplos

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} - \sin (x) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.1.1

Reordene os fatores em $e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} - \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} - \sin (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Some $\sin (x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$ por $e^{- 2 y}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} e^{- 2 y} = \sin (x)$ por $e^{- 2 y}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{- 2 y}}{e^{- 2 y}} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 y}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{- 2 y}}{e^{- 2 y}} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{- 2 y}$ .

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $e^{- 2 y}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (x)}{e^{- 2 y}}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{- 2 y} d y = \sin (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{- 2 y} d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - 2 y$ . Depois, $d u = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = - \cos (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (- \cos (x) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x)) - 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$e^{- 2 y} = 2 \cos (x) - 2 K$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{- 2 y})$ movendo $- 2 y$ para fora do logaritmo.

$- 2 y \ln (e) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) + K)}{2}$