Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + x^{2}} + 4 \sin (x) + 1$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{3}{1 + x^{2}} + 4 \sin (x) + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{3}{1 + x^{2}} + 4 \sin (x) + 1 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{1 + x^{2}} + 4 \sin (x) + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{1 + x^{2}} d x + \int 4 \sin (x) d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int 4 \sin (x) d x + \int d x$

Etapa 2.3.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int 4 \sin (x) d x + \int d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\arctan (x) + C_{2}) + \int 4 \sin (x) d x + \int d x$

Etapa 2.3.5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 (\arctan (x) + C_{2}) + 4 \int \sin (x) d x + \int d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = 3 (\arctan (x) + C_{2}) + 4 (- \cos (x) + C_{3}) + \int d x$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 3 (\arctan (x) + C_{2}) + 4 (- \cos (x) + C_{3}) + x + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$y + C_{1} = 3 \arctan (x) - 4 \cos (x) + x + C_{5}$

Etapa 2.3.9

Reordene os termos.

$y + C_{1} = x + 3 \arctan (x) - 4 \cos (x) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x + 3 \arctan (x) - 4 \cos (x) + K$