Cálculo Exemplos

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Etapa 1

Deixe $v = x + y$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $x + y$ .

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Etapa 4

Separe as variáveis.

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Etapa 4.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d v}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1.1.1

Some $v$ aos dois lados da equação.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Etapa 4.1.1.2

Some $2 v$ e $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Etapa 4.1.2

Divida cada termo em $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ por $v$ e simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Divida cada termo em $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ por $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 4.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 4.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Etapa 4.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $3 + \frac{1}{v}$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 4.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Etapa 5

Integre os dois lados.

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Etapa 5.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Etapa 5.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Etapa 5.2.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\frac{v}{3 v + 1}$ por $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Etapa 5.2.2

Divida $v$ por $3 v + 1$ .

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Etapa 5.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Etapa 5.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $v$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $v + \frac{1}{3}$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Etapa 5.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Etapa 5.2.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Etapa 5.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Etapa 5.2.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Etapa 5.2.7

Deixe $u = 3 v + 1$ . Depois, $d u = 3 d v$ , então, $\frac{1}{3} d u = d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.7.1

Deixe $u = 3 v + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

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Etapa 5.2.7.1.1

Diferencie $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Etapa 5.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 v + 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.2.7.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Etapa 5.2.7.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $3 v$ em relação a $v$ é $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.2.7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.2.7.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.2.7.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.2.7.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $1$ em relação a $v$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 5.2.7.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 5.2.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Etapa 5.2.8

Simplifique.

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Etapa 5.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Etapa 5.2.8.2

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Etapa 5.2.9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Etapa 5.2.10

Simplifique.

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Etapa 5.2.10.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 5.2.10.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 5.2.11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 5.2.12

Simplifique.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 5.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Etapa 6

Resolva $v$ .

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

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Etapa 6.1.2.1

Reordene $\ln (| u |)$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ movendo $\frac{1}{9}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Etapa 6.2

Some $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ aos dois lados da equação.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Etapa 6.3

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Etapa 6.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Etapa 6.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Etapa 6.5

Simplifique $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

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Etapa 6.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1.1

Simplifique $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Etapa 6.5.1.2

Multiplique os expoentes em ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

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Etapa 6.5.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Etapa 6.5.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Etapa 6.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Etapa 6.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 6.5.2

Reordene $3 x$ e $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7

Simplifique a constante de integração.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Etapa 9.2

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$