Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{1}{1 + x^{2}} y = x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - y \frac{1}{x^{2} + 1} = x^{3}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- y \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x^{2} + 1}) = x^{3}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Etapa 1.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$ por $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Etapa 1.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Etapa 1.6

Combine $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ e $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Etapa 1.7

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y}{x^{2} + 1} x = x^{3} x$

Etapa 1.8

Combine $x$ e $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x$

Etapa 1.9

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.9.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 1.9.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x^{1}$

Etapa 1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3 + 1}$

Etapa 1.9.2

Some $3$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Etapa 1.10

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Etapa 1.10.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Etapa 1.11

Fatore $y$ de $- \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{2} + 1}) = x^{4}$

Etapa 1.12

Reordene $y$ e $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{2} + 1} y = x^{4}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{x}{x^{2} + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{x y}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.4.2.1

Multiplique $x^{2} + 1$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Eleve $x^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.2.4.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{1}}} d x$

Etapa 7.2

Deixe $x = \tan (t_{1})$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t_{1})$ é positivo.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.1

Simplifique $\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{\sec (t_{1})}^{2 \cdot 1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum de $\sec (t_{1})$ .

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Etapa 7.3.2.1

Fatore $\sec (t_{1})$ de $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.4

Eleve $\sec (t_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {\tan (t_{1})}^{2 (2)} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.5.2

Reescreva ${\tan (t_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(\tan^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(- 1 + \sec^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.7

Simplifique.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int (1 - 2 \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t)) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.8

Simplifique os termos.

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Etapa 7.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int 1 \sec^{1} (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec^{1} (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.8.2

Simplifique cada termo.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.10

A integral de $\sec (t_{1})$ com relação a $t_{1}$ é $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.11

Como $- 2 \sec^{2} (t)$ é constante com relação a $t_{1}$ , mova $- 2 \sec^{2} (t)$ para fora da integral.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.12

A integral de $\sec (t_{1})$ com relação a $t_{1}$ é $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.13

Como $\sec^{4} (t)$ é constante com relação a $t_{1}$ , mova $\sec^{4} (t)$ para fora da integral.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1}$

Etapa 7.14

A integral de $\sec (t_{1})$ com relação a $t_{1}$ é $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)$

Etapa 7.15

Simplifique.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$

Etapa 7.16

Substitua todas as ocorrências de $t_{1}$ por $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, x)$ . Portanto, $\sec (\arctan (x))$ é $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.1.2

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.2.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.2.2

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

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Etapa 8.2.1.3.1

Reordene $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ e $- 2$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.3.2

Simplifique $- 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.4

Remova o valor absoluto em ${| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.5.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Etapa 8.2.1.5.2

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) = - \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.4

Reescreva a equação como $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$

Etapa 8.5

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$

Etapa 8.6

Divida cada termo em $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.6.1

$\frac{- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.2.2

Divida $\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.6.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.2

Divida $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ por $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ como $- (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \frac{\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.6

Divida $\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ por $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{- C}{- 1}$

Etapa 8.6.3.1.7

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{C}{1}$

Etapa 8.6.3.1.8

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Etapa 8.7

Multiplique os dois lados por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8

Simplifique.

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Etapa 8.8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.8.1.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.8.1.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 8.8.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.8.2.1

Simplifique $(\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.8.2.1.2.1

Reordene $\sec^{4} (t)$ e $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8.2.1.2.2

Mova $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.8.2.1.2.3

Reordene $- \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$