Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2

Simplifique $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Reorganize os termos.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Etapa 2.3.3.2

Some $1$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 2.3.4

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.3.6

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.7

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 2.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.9.1

Some $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.9.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.10

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.3.11

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.3.11.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.3.11.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.3.12

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.13

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 2.3.15

Some $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.3.16

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 2.3.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 2.3.18

Some $2$ e $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 2.3.19

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 2.3.20

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 2.3.21

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 2.3.22

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.3.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 2.3.22.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 2.3.23

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.24

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.25

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

Etapa 2.3.26

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$