Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Some $2 y \cot (2 x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Etapa 2.2

Integre $2 \cot (2 x)$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Etapa 2.2.3

Combine $\cot (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique $\int \cot (u) d u$ por $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.6

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin (2 x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sin (2 x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Etapa 3.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Mova os parênteses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Etapa 3.2.2

Reordene $\sin (2 x)$ e $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Etapa 3.2.3

Adicione parênteses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Etapa 3.2.5

Cancele os fatores comuns.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 7.2.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 7.3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Etapa 7.5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Etapa 7.10

Simplifique.

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Etapa 7.10.1

Reescreva $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ como $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Etapa 7.10.2

Simplifique.

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Etapa 7.10.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Etapa 7.10.2.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 7.12

Reordene os fatores em $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Etapa 8.1.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.3

Combine $\csc (2 x)$ e $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.4.2

Divida $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.5

Separe as frações.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.3.1.6

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Etapa 8.2.3.1.7

Divida $C$ por $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Etapa 8.2.3.2

Reordene os fatores em $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ .

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$