Cálculo Exemplos

$8 x^{3} (y d) x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 8 x^{3} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [8 x^{3} y]$

Etapa 1.2

Como $8 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 x^{3} y$ em relação a $y$ é $8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3} \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x^{3}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y^{4} - 9 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{4} - 9 x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{4} - 9 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Como $2 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 9 (4 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 36 x^{3}$

Etapa 2.4

Subtraia $36 x^{3}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 36 x^{3}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $8 x^{3}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 36 x^{3}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x^{3} = - 36 x^{3}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$8 x^{3} = - 36 x^{3}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 36 x^{3}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 36 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $8 x^{3}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 36 x^{3} - (8 x^{3})}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $8 x^{3} y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $8 x^{3} y$ por $M$ .

$\frac{- 36 x^{3} - (8 x^{3})}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $x^{3}$ de $- 36 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $x^{3}$ de $- 36 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 36 - 1 \cdot 8 x^{3}}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x^{3}$ de $- 1 \cdot 8 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 36 + x^{3} (- 1 \cdot 8)}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} \cdot - 36 + x^{3} (- 1 \cdot 8)$ .

$\frac{x^{3} (- 36 - 1 \cdot 8)}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{x^{3} (- 36 - 8)}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $8$ de $- 36$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 44}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \cdot - 44}{8 x^{3} y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 44}{8 y}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 44$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $4$ de $- 44$ .

$\frac{4 (- 11)}{8 y}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $4$ de $8 y$ .

$\frac{4 (- 11)}{4 (2 y)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 11}{4 (2 y)}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 11}{2 y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $8 x^{3} y$ por $M$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Etapa 5.2

Como $\frac{11}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{11}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reordene $\ln (| y |)$ e $\frac{11}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Etapa 5.5.1.2

Simplifique $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ movendo $\frac{11}{2}$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Etapa 5.5.2

Simplifique $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Etapa 5.5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Etapa 5.5.4

Multiplique os expoentes em ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Combine $\frac{11}{2}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Etapa 5.5.4.2.2

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Etapa 5.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Etapa 5.5.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $8 x^{3} y d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $8 x^{3} y$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$8 x^{3} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $8 x^{3} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 6.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{3} y \frac{8}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{8}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Combine $y$ e $\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{3} \cdot 8)}{y^{\frac{11}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.3

Mova $y^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.4.5.2

Subtraia $2$ de $11$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $2 y^{4} - 9 x^{4}$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (2 y^{4} - 9 x^{4}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $2 y^{4} - 9 x^{4}$ por $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{8 x^{3}}{y^{\frac{9}{2}}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{3} d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{8}{y^{\frac{9}{2}}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 4} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $4$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.4

Fatore $4$ de $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.5.1

Fatore $4$ de $4 y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (y^{\frac{9}{2}})} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} x^{4} + C$

Etapa 8.3.2.6

Combine $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $2 x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}}$ em relação a $y$ é $2 x^{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ como ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{\frac{9}{2}}$ .

$2 x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x^{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$2 x^{4} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{2}$ .

$2 x^{4} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{4} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.5.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.9.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{9}{2}$ e $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{4} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.11

Combine $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ e $y^{- 9}$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique $y^{\frac{7}{2}}$ por $y^{- 9}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.12.1

Mova $y^{- 9}$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.3

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.4

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.12.6.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.6.2

Some $- 18$ e $7$ .

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.12.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{4} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.13

Mova $y^{- \frac{11}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{4} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.14

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{4} \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.15

Combine $- 2$ e $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{4} \frac{- 2 \cdot 9}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.16

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$x^{4} \frac{- 18}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.17

Combine $x^{4}$ e $\frac{- 18}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot - 18}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.18

Mova $- 18$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$\frac{- 18 \cdot x^{4}}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.19

Fatore $2$ de $- 18 x^{4}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.20.1

Fatore $2$ de $2 y^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 9 x^{4})}{2 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1.1

Simplifique $\frac{d g}{d y} - \frac{9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} - \frac{2 y^{4} - 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Etapa 12.1.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - (2 y^{4} - 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - (2 y^{4}) - (- 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - 2 y^{4} - (- 9 x^{4})}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.2.3

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 9 x^{4} - 2 y^{4} + 9 x^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Combine os termos opostos em $- 9 x^{4} - 2 y^{4} + 9 x^{4}$ .

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Etapa 12.1.1.3.1

Some $- 9 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{4} + 0}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Some $- 2 y^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{4}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.4.1

Mova $y^{4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Multiplique $y^{\frac{11}{2}}$ por $y^{- 4}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1.4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} - 4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11 - 4 \cdot 2}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{11 - 8}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2.5.2

Subtraia $8$ de $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 13.4

Mova $y^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = 2 \int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Etapa 13.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 2 \int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Etapa 13.5.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 13.5.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$g (y) = 2 \int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Etapa 13.5.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (y) = 2 \int y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Etapa 13.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = 2 \int y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 13.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $y$ é $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$g (y) = 2 (- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C)$

Etapa 13.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.7.1

Reescreva $2 (- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C)$ como $2 (- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$g (y) = 2 (- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13.7.2

Simplifique.

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Etapa 13.7.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$g (y) = 2 \frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = 2 (- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 13.7.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$g (y) = - 2 \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$g (y) = \frac{- 2 \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7.2.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$g (y) = \frac{- 4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 13.7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{4}}{y^{\frac{9}{2}}} - \frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} + C$