Cálculo Exemplos

$x y y' + 4 x^{2} + y^{2} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$x y \frac{d y}{d x} + 4 x^{2} + y^{2} = 0$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = - 4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.2

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$

Etapa 2.1.2

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$ por $x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2} - y^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 4 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Etapa 2.1.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} + \frac{- y}{x}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y} - \frac{y}{x}$

Etapa 2.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{4 x}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{4 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot 4) - \frac{y}{x}$

Etapa 2.2.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $4$ .

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot \frac{x}{y}) - \frac{y}{x}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1}) - \frac{y}{x}$

Etapa 3

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (4 \cdot V^{- 1}) - V$

Etapa 4

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 5

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 6

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (4 \cdot V^{- 1}) - V$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - 4 \cdot V^{- 1} - V$

Etapa 7.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - 4 \cdot \frac{1}{V} - V$

Etapa 7.1.1.1.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{- 4}{V} - V$

Etapa 7.1.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{4}{V} - V$

Etapa 7.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - V - V$

Etapa 7.1.1.2.2

Subtraia $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$

Etapa 7.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} - 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{4}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{4}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{x V} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{4}{x V} - \frac{2 V}{x}$

Etapa 7.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \frac{4}{x V} - \frac{2 V}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Reordene $- \frac{4}{x V}$ e $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x} - \frac{4}{x V}$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - \frac{4}{x V}$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- \frac{4}{x V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - (\frac{4}{x V})$

Etapa 7.1.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (\frac{2 V}{x}) - (\frac{4}{x V})$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} + \frac{4}{x V})$

Etapa 7.1.2.2

Para escrever $\frac{2 V}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V} + \frac{4}{x V})$

Etapa 7.1.2.3

Multiplique $\frac{2 V}{x}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V \cdot V}{x V} + \frac{4}{x V})$

Etapa 7.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V \cdot V + 4}{x V}$

Etapa 7.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.5.1

Fatore $2$ de $2 V \cdot V + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.5.1.1

Fatore $2$ de $2 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 4}{x V}$

Etapa 7.1.2.5.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 2 \cdot 2}{x V}$

Etapa 7.1.2.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (V \cdot V) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V + 2)}{x V}$

Etapa 7.1.2.5.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V^{2} + 2)}{x V}$

Etapa 7.1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{V}{2 (V^{2} + 2)}$ .

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} (- \frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 7.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} (\frac{2 (V^{2} + 2)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 7.1.5.2

Combine.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

Etapa 7.1.5.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{V}{2 (V^{2} + 2)}$ para o numerador.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- V}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

Etapa 7.1.5.3.2

Fatore $V$ de $- V$ .

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

Etapa 7.1.5.3.3

Fatore $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V (x)}$

Etapa 7.1.5.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{V x}$

Etapa 7.1.5.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{x}$

Etapa 7.1.5.4

Cancele o fator comum de $2 (V^{2} + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.5.4.1

Fatore $2 (V^{2} + 2)$ de $2 (V^{2} + 2) \cdot 1$ .

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) (1)}{x}$

Etapa 7.1.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 (V^{2} + 2)} \cdot \frac{2 (V^{2} + 2) \cdot 1}{x}$

Etapa 7.1.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.6

Reescreva a equação.

$\frac{V}{2 (V^{2} + 2)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{V}{2 (V^{2} + 2)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $V$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{V}{V^{2} + 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.2

Deixe $u = V^{2} + 2$ . Depois, $d u = 2 V d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Deixe $u = V^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Diferencie $V^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 2]$

Etapa 7.2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V^{2} + 2$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [2]$

Etapa 7.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [2]$

Etapa 7.2.2.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $2$ em relação a $V$ é $0$ .

$2 V + 0$

Etapa 7.2.2.2.1.5

Some $2 V$ e $0$ .

$2 V$

Etapa 7.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V^{2} + 2$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 7.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 7.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |)) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{2} + 2 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| V^{2} + 2 |)$ .

$4 \frac{\ln (| V^{2} + 2 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\ln (| V^{2} + 2 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| V^{2} + 2 |) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique $4 (- \ln (| x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| V^{2} + 2 |) = 4 (- \ln (| x |)) + 4 C$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\ln (| V^{2} + 2 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Etapa 7.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| V^{2} + 2 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Etapa 7.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Simplifique $\ln (| V^{2} + 2 |) + 4 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1.1.1

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| V^{2} + 2 |) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Etapa 7.3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| V^{2} + 2 |) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Etapa 7.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 2 | x^{4}) = 4 C$

Etapa 7.3.4.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| V^{2} + 2 | x^{4})$ .

$\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |) = 4 C$

Etapa 7.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |)} = e^{4 C}$

Etapa 7.3.6

Reescreva $\ln (x^{4} | V^{2} + 2 |) = 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} | V^{2} + 2 |$

Etapa 7.3.7

Resolva $V$ .

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Etapa 7.3.7.1

Reescreva a equação como $x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ .

$x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$

Etapa 7.3.7.2

Divida cada termo em $x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ por $x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 7.3.7.2.1

Divida cada termo em $x^{4} | V^{2} + 2 | = e^{4 C}$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} | V^{2} + 2 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Etapa 7.3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 7.3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} | V^{2} + 2 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Etapa 7.3.7.2.2.1.2

Divida $| V^{2} + 2 |$ por $1$ .

$| V^{2} + 2 | = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Etapa 7.3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$V^{2} + 2 = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Etapa 7.3.7.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 2$

Etapa 7.3.7.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 2}$

Etapa 7.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 7.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{4}} - 2}$

Etapa 7.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$

Etapa 8

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{4}} - 2}$ para $y$ .

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Etapa 9.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

Etapa 9.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.1

Simplifique $(\pm \sqrt{C (\frac{1}{x^{4}}) - 2}) x$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Combine $C$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} - 2}) x$

Etapa 9.2.2.1.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} - 2 \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}}) x$

Etapa 9.2.2.1.3

Combine $- 2$ e $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{C}{x^{4}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{4}}}) x$

Etapa 9.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = (\pm \sqrt{\frac{C - 2 x^{4}}{x^{4}}}) x$

Etapa 9.2.2.1.5

Reescreva $\frac{C - 2 x^{4}}{x^{4}}$ como ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (C - 2 x^{4})$ .

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Etapa 9.2.2.1.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $C - 2 x^{4}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{x^{4}}}) x$

Etapa 9.2.2.1.5.2

Fatore a potência perfeita ${(x^{2})}^{2}$ de $x^{4}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}) x$

Etapa 9.2.2.1.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (C - 2 x^{4})}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (C - 2 x^{4})}) x$

Etapa 9.2.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = (\pm \frac{1}{x^{2}} \sqrt{C - 2 x^{4}}) x$

Etapa 9.2.2.1.7

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\sqrt{C - 2 x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{C - 2 x^{4}}}{x^{2}}) x$