Cálculo Exemplos

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Etapa 1.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Etapa 1.1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Etapa 1.1.1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Etapa 1.1.2.2

Some $x y$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Etapa 1.1.3

Fatore $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $x \frac{d y}{d x}$ de $- x y \frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Etapa 1.1.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Etapa 1.1.5

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ por $x (1 - y)$ e simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ por $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.5.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.2.2

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 1.1.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Etapa 1.1.5.3.2

Para escrever $\frac{y}{1 - y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.1.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (1 - y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.5.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{1 - y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Etapa 1.1.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(1 - y) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.5

Fatore $y$ de $- y + y x$ .

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Etapa 1.1.5.3.5.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.5.2

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.5.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 1 + y (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.7

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Etapa 1.1.5.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{y}{1 - y}$ por $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 - y}{y}$ para o numerador.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $1 - y$ de $- (1 - y)$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Etapa 1.4.3.3

Fatore $1 - y$ de $(1 - y) x$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Etapa 1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Etapa 1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Reordene $1$ e $- x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Divida $- x + 1$ por $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Etapa 2.3.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Etapa 2.3.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 0$ .

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Etapa 2.3.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Etapa 2.3.3.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$