Cálculo Exemplos

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

Etapa 2.2

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} \cos (x)$ em relação a $y$ é $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

Etapa 2.4

Reordene.

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Etapa 2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 y \cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\cos (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $\cos (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2 y \cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y^{2} \cos (x)$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $y^{2} \cos (x)$ por $M$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.3

Substitua $y^{2} \cos (x)$ por $M$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ .

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Etapa 6.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

Etapa 6.2

Multiplique $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $y$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.2.1

Mova $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $y$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

Etapa 6.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

Etapa 6.3.2.3

Some $- 2$ e $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

Etapa 6.4

Divida a integral única em várias integrais.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Etapa 6.6

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

Etapa 6.7

A integral de $y^{- 1}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.8

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.9.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

Etapa 6.9.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y^{2} \cos (x)$ por $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

Etapa 7.2

Reordene os fatores em $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $\sin (x)$ por $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

Etapa 7.4

Reordene os fatores em $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Reescreva $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ como $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

Etapa 9.2

Como $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

Etapa 9.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

Etapa 9.4

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

Etapa 9.5

Simplifique.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $\sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ em relação a $y$ é $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.6

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 \ln (y)$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.10

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.13

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.14

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.15

Some $y^{- 2}$ e $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.16

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.3

Remova os parênteses.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.2.1

Fatore $y^{2}$ de $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 12.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.4.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.5.4.1.1

Fatore $y$ de $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.4.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 12.5.5.4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.5.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.6

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.6.1

Some $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ e $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 12.5.6.2

Some $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.1.2.1

Simplifique $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (y)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.2.1.2

Subtraia $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ de $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

Etapa 13.1.3

Como $\frac{d g}{d y}$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13.1.4

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Divida cada termo em $- \frac{d g}{d y} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 13.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.1.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 13.1.4.2.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 13.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Etapa 16

Simplifique $- 2 \ln (y)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$