Cálculo Exemplos

$(y + 2 x) d y + y d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Etapa 3.4

Some $0$ e $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = 2$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Etapa 5.3.2

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{1}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 6.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y d x + (y + 2 x) d y = 0$ pelo fator de integração $y$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y \cdot y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $y + 2 x$ por $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) y d y = 0$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} d x + (y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} d x + (y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = y^{2} + 2 x y$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y - 2 x y$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $y^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

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Etapa 13.1.2.1

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Etapa 13.1.2.2

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Etapa 14.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$