Cálculo Exemplos

$2 x (y + 1) + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y + 2 x \cdot 1 + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x y + 2 x + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Etapa 1.1.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $\frac{d y}{d x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y - 2 x$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y - 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- y - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.4.1

Reescreva $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y + 1}$ para o numerador.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $y + 1$ de $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | x^{2} + 1 |) = C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (y + 1) (x^{2} + 1) |) = C$

Etapa 3.4

Expanda $(y + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Etapa 3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Etapa 3.5.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$

Etapa 3.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |)} = e^{C}$

Etapa 3.7

Reescreva $\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y + x^{2} + 1 |$

Etapa 3.8

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$

Etapa 3.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y + x^{2} + 1 = \pm e^{C}$

Etapa 3.8.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y x^{2} + y + 1 = \pm e^{C} - x^{2}$

Etapa 3.8.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y x^{2} + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Etapa 3.8.4

Fatore $y$ de $y x^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Fatore $y$ de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Etapa 3.8.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Etapa 3.8.4.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Etapa 3.8.4.4

Fatore $y$ de $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Etapa 3.8.5

Divida cada termo em $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.1

Divida cada termo em $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.3.2

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.8.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$