Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{y (x + 2)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} (\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x}{x + 2}$ por $\frac{{(y^{2} + 1)}^{4}}{y}$ .

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \cdot \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{(x + 2) y}$

Etapa 1.3.2

Combine.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (x {(y^{2} + 1)}^{4})}{{(y^{2} + 1)}^{4} ((x + 2) y)}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de ${(y^{2} + 1)}^{4}$ .

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Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x {(y^{2} + 1)}^{4}}{{(y^{2} + 1)}^{4} (x + 2)}$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{4}} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y^{2} + 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{1}}^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{4} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{4}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.4.1

Mova ${u_{1}}^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 4}$ com relação a $u_{1}$ é $- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{1}}^{- 3} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{1}}^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{{u_{1}}^{3} \cdot 3}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Mova $3$ para a esquerda de ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot {u_{1}}^{3}}) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3 {u_{1}}^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 {u_{1}}^{3})} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6 {u_{1}}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $x$ por $x + 2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.7

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.7.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{6 {(y^{2} + 1)}^{3}} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$