Cálculo Exemplos

$(1 + 2 y) d x + (4 - x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + 2 y) d x$ dos dois lados da equação.

$(4 - x^{2}) d y = - (1 + 2 y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $4 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (4 - x^{2}) d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $1 + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)}$ para o numerador.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(4 - x^{2}) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $1 + 2 y$ de $(4 - x^{2}) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (4 - x^{2})} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{4 - x^{2}} d x$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{2^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 3.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 4.2.1.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} d x$

Etapa 4.3.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Etapa 4.3.2.1.2

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.1.2

Divida $(A) (2 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5

Cancele o fator comum de $2 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5.2

Divida $(B) (2 + x)$ por $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Etapa 4.3.2.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Etapa 4.3.2.1.6.7

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.3

Mova $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Etapa 4.3.2.1.7.4

Mova $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Resolva $B$ em $0 = - 1 A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.3.1.2

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.3.1.3

Some $A$ aos dois lados da equação.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Etapa 4.3.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $A$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = 2 A + 2 B$ por $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Some $2 A$ e $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.3

Resolva $A$ em $1 = 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.3.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.3.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Etapa 4.3.2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = A$ por $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.2.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Etapa 4.3.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.5.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.3.2.5.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 - x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Etapa 4.3.5

Deixe $u_{2} = 2 + x$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Deixe $u_{2} = 2 + x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Etapa 4.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x)$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x)$

Etapa 4.3.8

Deixe $u_{3} = 2 - x$ . Depois, $d u_{3} = - d x$ , então, $- d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Deixe $u_{3} = 2 - x$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Etapa 4.3.11

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Etapa 4.3.12

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 2 + x |)}{4} - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4}) + C_{4}$

Etapa 4.3.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.14.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 2 + x |) - \ln (| 2 - x |)}{4} + C_{4}$

Etapa 4.3.14.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C_{4}$

Etapa 4.3.15

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + C \cdot 4}{2}$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + 4 C}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.1

Fatore $- 1$ de $- \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) + 4 C}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.2

Fatore $- 1$ de $4 C$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.3

Fatore $- 1$ de $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})) - (- 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.4.1

Reescreva $- (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ como $- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = \frac{- 1 (\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C)}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| 1 + 2 y |) = - \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} = | 1 + 2 y |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}}$

Etapa 5.5.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.5.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y = \pm e^{- \frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}} - 1$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.2.1

Divida a fração $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) - 4 C}{2}$ em duas frações.

$2 y = \pm e^{- (\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2} + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.2.2.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ .

$2 y = \pm e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$2 y = \pm e^{- (\ln ({(\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{| 2 + x |}{| 2 - x |}$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 4 C}{2})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.2.4.1

Fatore $2$ de $- 4 C$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 (1)})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{2 (- 2 C)}{2 \cdot 1})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{1})} - 1$

Etapa 5.5.3.2.2.4.2.4

Divida $- 2 C$ por $1$ .

$2 y = \pm e^{- (\ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - 2 C)} - 1$

Etapa 5.5.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) - (- 2 C)} - 1$

Etapa 5.5.3.2.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$

Etapa 5.5.4

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.5.4.1

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C} - 1}{2}$

Etapa 6.2

Reescreva $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}}) + C}$ como $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} e^{C} - 1}{2}$

Etapa 6.3

Reordene $e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$

Etapa 6.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C e^{- \ln (\frac{{| 2 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 - x |}^{\frac{1}{2}}})} - 1}{2}$