Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = (x + 1) x$ . Depois, $d u = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = (x + 1) x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.2.2.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2.2.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Etapa 2.2.2.1.3.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.2.1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + 1 + x$

Etapa 2.2.2.1.3.6.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$(x + 1) x$

Etapa 2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + 1 x$

Etapa 2.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Etapa 2.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{2} + x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $x^{2} + x$ por $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.6

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.6.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.6.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.7.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.8

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.2.8.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.8.2

Divida $(2 x + 1) y$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $y$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $x^{2} + x$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Etapa 3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.6.1.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.6.2.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Etapa 3.4

Combine os termos opostos em $x^{2} + x - x - 1$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Etapa 3.4.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Etapa 7.3

Aplique a regra da constante.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Etapa 7.4

Simplifique.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ por $x^{2} + x$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ por $x^{2} + x$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.4

Combine.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore $x$ de $x^{3} \cdot 1$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.5.2.1

Fatore $x$ de $3 (x (x + 1))$ .

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.7

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 8.3.1.7.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.7.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.7.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.3.1.8.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.8.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Etapa 8.3.1.10

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 8.3.1.10.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Etapa 8.3.1.10.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Etapa 8.3.1.10.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Etapa 8.3.1.10.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.2

Para escrever $- \frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.3.2

Reordene os fatores de $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.5

Para escrever $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Etapa 8.3.6

Para escrever $\frac{C}{x (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 (x + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.7.1

Multiplique $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3.7.2

Multiplique $\frac{C}{x (x + 1)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Etapa 8.3.7.3

Reordene os fatores de $3 (x + 1) x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Etapa 8.3.7.4

Reordene os fatores de $x (x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 8.3.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Etapa 8.3.9.3

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$