Cálculo Exemplos

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x + 2 = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y + 2 y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y + 2 y$ por $M$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $- (- 2 x - 2)$ de $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $- 2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $2 y$ de $2 x y + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2 y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $2 y$ de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $- x - 1$ e $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.4

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Etapa 4.3.5.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $2 x y + 2 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 x y + 2 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x y + 2 y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $2 y$ de $2 x y + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $2 y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $2 y$ de $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Etapa 6.4.2

Divida $2 (x + 1)$ por $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- y$ por $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.8

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.8.2

Cancele o fator comum.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.8.3

Reescreva a expressão.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Etapa 11.3

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $2 x + 2$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Etapa 12.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Etapa 12.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Etapa 12.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Etapa 12.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Etapa 12.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Etapa 12.8

Simplifique.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$