Cálculo Exemplos

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (1 + 2 x \tan (y))$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x \tan (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Etapa 2.6

Como $2 \tan (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \tan (y)$ em relação a $x$ é $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 \tan (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = - 2 \tan (y)$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 \tan (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $1$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Etapa 4.3.2

Divida $- 2 \tan (y) + 0$ por $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Etapa 4.3.3

Substitua $1$ por $M$ .

$- 2 \tan (y)$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\tan (y)$ com relação a $y$ é $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Etapa 5.4.3

Remova o valor absoluto em ${| \sec (y) |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Etapa 5.4.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Etapa 5.4.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Etapa 5.4.6

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ como ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Etapa 5.4.7

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Etapa 5.4.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Etapa 5.4.9

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Etapa 6

Multiplique $1$ por $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos^{2} (y) x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\cos^{2} (y) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

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Etapa 11.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3.3

A derivada de $\cos (y)$ em relação a $y$ é $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Some $2 x \cos (y) \sin (y)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

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Etapa 12.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ e $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Etapa 12.1.2.2

Some $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ e $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Etapa 12.1.2.3

Some $- \cos^{2} (y)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- \cos^{2} (y)$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Etapa 13.4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (y)$ como $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Etapa 13.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Etapa 13.6

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Etapa 13.7

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Etapa 13.8

Aplique a regra da constante.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Etapa 13.9

Deixe $u = 2 y$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.9.1

Deixe $u = 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 13.9.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 13.9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 13.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 13.10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 13.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 13.12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13.13

Simplifique.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 13.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Etapa 13.15

Simplifique.

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Etapa 13.15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Etapa 13.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Etapa 13.15.3

Combine $y$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Etapa 13.15.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Etapa 13.15.4.1

Multiplique $\frac{\sin (2 y)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 13.15.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Etapa 13.16

Simplifique.

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Etapa 13.16.1

Reordene os termos.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Etapa 13.16.2

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Etapa 13.16.3

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $y$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Etapa 15.1.2

Combine $\sin (2 y)$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$