Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} + (\frac{4}{y + 1}) x = \frac{y}{y + 1}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = \frac{4}{y + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{4}{y + 1} d y}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{4}{y + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{4 \int \frac{1}{y + 1} d y}$

Etapa 1.2.2

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 1.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 1.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{4 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

$e^{4 \ln (| u |) + C}$

Etapa 1.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$e^{4 \ln (| y + 1 |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 \ln (y + 1)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(y + 1)}^{4})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(y + 1)}^{4}$

Etapa 1.6

Use o teorema binomial.

$y^{4} + 4 y^{3} \cdot 1 + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Etapa 1.7.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1 + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Etapa 1.7.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1^{4}$

Etapa 1.7.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1^{4}$

Etapa 1.7.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + 1 \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{4}{y + 1}$ e $x$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ por $\frac{4 x}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) (4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.5

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{4} \cdot 4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de ${(y + 1)}^{4}$ e $y + 1$ .

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $y + 1$ de ${(y + 1)}^{4} \cdot 4 x$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{(y + 1) \cdot 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{3} \cdot 4 x}{1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.6.2.4

Divida ${(y + 1)}^{3} \cdot 4 x$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + {(y + 1)}^{3} \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.7

Use o teorema binomial.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.8.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.8.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} \cdot 4 + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

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Etapa 2.2.10.1

Mova $4$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.10.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.10.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.10.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.2.11

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 2.3

Multiplique $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ por $\frac{y}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) y}{y + 1}$

Etapa 2.4

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{4} y}{y + 1}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de ${(y + 1)}^{4}$ e $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $y + 1$ de ${(y + 1)}^{4} y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{y + 1}$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{(y + 1) \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{3} y}{1}$

Etapa 2.5.2.4

Divida ${(y + 1)}^{3} y$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = {(y + 1)}^{3} y$

Etapa 2.6

Use o teorema binomial.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Etapa 2.7.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) y$

Etapa 2.7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) y$

Etapa 2.7.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) y$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Multiplique $y^{3}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Multiplique $y^{3}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y^{1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3 + 1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.1.2

Some $3$ e $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Mova $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y \cdot y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y^{1} y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{1 + 2} + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.2.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y \cdot y + 1 y$

Etapa 2.9.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.3.1

Mova $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 (y \cdot y) + 1 y$

Etapa 2.9.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + 1 y$

Etapa 2.9.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] d y = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} d y + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Etapa 6.3

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 \int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Etapa 6.5

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 \int y^{2} d y + \int y d y$

Etapa 6.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y d y$

Etapa 6.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Simplifique.

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Etapa 6.8.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.8.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.8.2

Simplifique.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{y^{5}}{5} + \frac{3 y^{4}}{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.8.3

Reordene os termos.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ por $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$\frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $y^{5}$ .

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.2

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.4

Combine.

$x = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.5

Multiplique $y^{5}$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.6

Combine $\frac{3}{4}$ e $y^{4}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.7

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.9

Combine.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4} \cdot 1}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.11

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.13

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.14

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.15

Combine.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2} \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.16

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 7.3.1.17

Fatore $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ usando o teorema binomial.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{{(y + 1)}^{4}}$