Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 1.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 1.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Etapa 1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 1.4.2

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{- 4} d x$

Etapa 1.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{1})$

Etapa 1.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.6.1

Simplifique.

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Etapa 1.6.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{1})$

Etapa 1.6.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1})$

Etapa 1.6.2

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{1}$

Etapa 1.6.3

Simplifique.

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1}$

Etapa 1.6.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Etapa 1.6.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Etapa 1.6.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.3.2.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{2} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{2} = \int x^{- 3} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Simplifique.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.6

Reordene os termos.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x^{2}} + D$