Cálculo Exemplos

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Subtraia $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Etapa 4.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{1}{y}$

Etapa 4.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.2

Combine.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 8.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{1}{y}$ e $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 11

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 12.1.2.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 12.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 12.1.2.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 12.1.3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Etapa 12.1.3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 12.1.3.2.2

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 12.1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 12.1.3.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Etapa 12.1.3.4

Subtraia $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 12.1.4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.4.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 12.1.4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ não é uma identidade.

Etapa 12.1.5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.5.1

Substitua $- \frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 12.1.5.2

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Etapa 12.1.5.3

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.5.3.1

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Etapa 12.1.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Etapa 12.1.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 12.1.5.3.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 12.1.5.3.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 12.1.5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{1}{y}$

Etapa 12.1.5.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 12.1.5.3.7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 12.1.5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 12.1.6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 12.1.6.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 12.1.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 12.1.6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 12.1.6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 12.1.6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.6.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 12.1.6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 12.1.6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 12.1.6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 12.1.7

Multiplique ambos os lados de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.7.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.2

Combine.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.7.3.1

Fatore $y$ de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.7.3.2.1

Fatore $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Etapa 12.1.7.4

Multiplique $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 12.1.7.5

Multiplique $y^{3} - \ln (x)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 12.1.8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Etapa 12.1.9

Integre $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.9.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 12.1.9.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Etapa 12.1.9.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.9.3.1

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Etapa 12.1.9.3.2

Combine $\frac{1}{y}$ e $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Etapa 12.1.10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Etapa 12.1.11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1

Simplifique $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.1.1

Cancele o fator comum de $d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.2.1

Para escrever $g y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.2.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.2.3.1

Mova $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.2.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.4

Multiplique $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.12.1.4.1

Multiplique $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.4.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.12.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Etapa 12.1.13

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ por $y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 12.1.13.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ por $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 12.1.13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.1.13.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 12.1.13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 12.1.13.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 12.1.13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.13.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 12.1.13.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 12.1.13.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Etapa 12.1.14

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Etapa 12.1.15

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Etapa 12.1.16

Reordene os fatores em $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- g y^{2} + y^{3}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Etapa 13.2

Reescreva.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Etapa 13.3

Some $0$ e $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Etapa 13.4

Avalie $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Etapa 13.5

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Etapa 13.6

Como $- g$ é constante com relação a $y$ , mova $- g$ para fora da integral.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Etapa 13.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Etapa 13.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.10

Simplifique.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.11

Simplifique.

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Etapa 13.11.1

Reordene os termos.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.11.2

Remova os parênteses.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.11.3

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15.2

Combine $g$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$