Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $\frac{1}{x y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Etapa 1.1.1.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x y^{2}} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{1}{x y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $- \frac{y}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \cdot y^{2} + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.4.1.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y) + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 1.2.4.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y^{1}) + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2 + 1} + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{3} + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva $- y^{3}$ como ${(- y)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1^{3}}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = - y$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- y)}^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.5.1

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- 1)}^{2} y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (1 y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.4

Multiplique $- - y$ .

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Etapa 1.2.4.5.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + 1 y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1^{2})}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.4.5.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{x y^{2}}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} (\frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{y^{2} x}$

Etapa 1.5.2

Combine.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (x)}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $- y + 1$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) x}$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) (x)}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $y^{2} + y + 1$ .

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Etapa 1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) x}$

Etapa 1.5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Depois, $d u = - 3 y^{2} d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(- y + 1) (y^{2} + y + 1)]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = - y + 1$ e $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(- y + 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3.5

Some $2 y + 1$ e $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.1.1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.1.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.1.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.2.1.1.3.10

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + 0)$

Etapa 2.2.1.1.3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1.3.11.1

Some $- 1$ e $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot - 1$

Etapa 2.2.1.1.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - 1 \cdot (y^{2} + y + 1)$

Etapa 2.2.1.1.3.11.3

Reescreva $- 1 (y^{2} + y + 1)$ como $- (y^{2} + y + 1)$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - (y^{2} + y + 1)$

Etapa 2.2.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- y + 1) (2 y + 1) - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- y + 1) (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y (2 y) + 1 (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- y (2 y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5

Combine os termos.

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Etapa 2.2.1.1.4.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 y \cdot y + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 2 (y^{1} y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 2 (y^{1} y^{1}) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 y^{1 + 1} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 y^{2} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.8

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.9

Subtraia $y$ de $2 y$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.11

Subtraia $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + y + 1 - y - 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.12

Subtraia $y$ de $y$ .

$- 3 y^{2} + 0 + 1 - 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.13

Some $- 3 y^{2}$ e $0$ .

$- 3 y^{2} + 1 - 1$

Etapa 2.2.1.1.4.5.14

Subtraia $1$ de $1$ .

$- 3 y^{2} + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.5.15

Some $- 3 y^{2}$ e $0$ .

$- 3 y^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Expanda $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y \cdot y^{2} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1.2.1.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.1.1

Mova $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y^{1}) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{2 + 1} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.2.1

Mova $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - (y \cdot y) - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.4

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1.1.2.2.1

Combine os termos opostos em $- y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.2.1.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + 0 + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.2

Some $- y^{3} - y$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.3

Some $- y$ e $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 0 + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.4

Some $- y^{3}$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.2

Combine $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}$ para o numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.4

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.4.2

Multiplique $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{3}$ .

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Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $| - y^{3} + 1 |$ por $1$ .

$| - y^{3} + 1 | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y^{3} + 1 = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Etapa 3.7.5

Divida cada termo em $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.7.5.1

Divida cada termo em $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Etapa 3.7.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$