Cálculo Exemplos

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + \ln (| x |)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Etapa 2.2.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Etapa 2.3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Etapa 2.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Etapa 2.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Etapa 2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $0$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Etapa 2.4.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Etapa 2.4.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Etapa 2.4.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = \frac{y}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 8

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Etapa 9.1.2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 9.1.2.2

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 9.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 9.1.2.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 9.1.3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + \ln (| x |)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Etapa 9.1.3.2.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Etapa 9.1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 9.1.3.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 9.1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Etapa 9.1.3.3.2

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Etapa 9.1.3.3.3

Multiplique $\frac{1}{| x |}$ por $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Etapa 9.1.3.3.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Etapa 9.1.3.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Etapa 9.1.3.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Etapa 9.1.3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Etapa 9.1.3.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Etapa 9.1.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.4.1

Some $0$ e $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Etapa 9.1.3.4.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Etapa 9.1.3.4.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.4.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Etapa 9.1.3.4.3.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 9.1.3.4.3.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.4.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Etapa 9.1.3.4.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Etapa 9.1.3.4.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 9.1.4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 9.1.4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 9.1.5

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Etapa 9.1.6

Integre $M (x, y) = \frac{y}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 9.1.6.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Etapa 9.1.6.3

Simplifique.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Etapa 9.1.7

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Etapa 9.1.8

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Simplifique $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1.1

Cancele o fator comum de $d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.3

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + g y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1.3.1

Fatore $y$ de $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.3.2

Fatore $y$ de $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.3.3

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.9.1.4.2

Divida $\ln (| x |) + g$ por $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Etapa 9.1.10

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Etapa 9.1.11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Etapa 9.1.12

Cancele o fator comum de $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.12.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Etapa 9.1.12.2

Reescreva a expressão.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Etapa 9.1.13

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- g + y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Etapa 10.4

Aplique a regra da constante.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 10.6

Simplifique.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$