Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = \sin^{4} (π θ)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d r = \sin^{4} (π θ) d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d r = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{1} = π θ$ . Depois, $d u_{1} = π d θ$ , então, $\frac{1}{π} d u_{1} = d θ$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{1} = π θ$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $π$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $π θ$ em relação a $θ$ é $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Etapa 2.3.2

Combine $\sin^{4} (u_{1})$ e $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \int \frac{\sin^{4} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int \sin^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.6

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 2.3.6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.8

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva $\frac{1 - \cos (u_{2})}{2}$ como um produto.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3

Expanda ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2}$ .

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Etapa 2.3.8.3.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 2.3.8.3.7

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.8

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.9

Mova $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.10

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.11

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.12

Mova os parênteses.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.13

Mova $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.14

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.15

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.16

Mova $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.17

Mova $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.18

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.19

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.20

Mova os parênteses.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.21

Mova $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.22

Mova $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.23

Multiplique $1$ por $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.24

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.25

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.26

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.27

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.28

Combine $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.29

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.30

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.31

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.32

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.33

Combine $- \frac{\cos (u_{2})}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.34

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.35

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.36

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.37

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.38

Multiplique $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.39

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.40

Combine $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ e $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.41

Eleve $\cos (u_{2})$ à potência de $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.42

Eleve $\cos (u_{2})$ à potência de $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.43

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.44

Some $1$ e $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.45

Subtraia $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.46

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.47

Reordene $\frac{- 2 \cos (u_{2})}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.3.48

Reordene $\frac{1}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.4.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.4.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 (2)} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.9

Divida a integral única em várias integrais.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.11

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{2})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.13.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.14

Divida a integral única em várias integrais.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.15

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.16

Deixe $u_{3} = 2 u_{2}$ . Depois, $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 2.3.16.1

Deixe $u_{3} = 2 u_{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 2.3.16.1.1

Diferencie $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Etapa 2.3.16.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Etapa 2.3.16.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.16.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.16.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.17

Combine $\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.18

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.19

A integral de $\cos (u_{3})$ com relação a $u_{3}$ é $\sin (u_{3})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.20

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{1}{4} u_{2} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.21

Combine $\frac{1}{4}$ e $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.22

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.23

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 2.3.24

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{5}))$

Etapa 2.3.25

Simplifique.

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Etapa 2.3.25.1

Simplifique.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.25.2.1

Para escrever $\frac{u_{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.25.2.2.1

Multiplique $\frac{u_{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.25.2.5

Some $u_{2}$ e $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.26

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.26.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.26.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.26.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.26.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.26.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1.1

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1.1.1

Fatore $2$ de $3 (2 (π θ))$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1.1.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (π θ)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 π θ}{4} + \frac{\sin (4 π θ)}{16} - \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.3.1.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.1.2

Fatore $π$ de $3 π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.1.3

Cancele o fator comum.

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.1.4

Reescreva a expressão.

$r + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 θ}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.4

Multiplique $\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

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Etapa 2.3.27.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{2 π}$ por $\frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{2 π \cdot 16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.4.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.5

Multiplique $\frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2})$ .

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Etapa 2.3.27.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{2 π}$ por $\frac{\sin (2 π θ)}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{2 π \cdot 2} + C_{6}$

Etapa 2.3.27.3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{4 π} + C_{6}$

Etapa 2.3.28

Reordene os termos.

$r + C_{1} = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$r = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + K$