Cálculo Exemplos

$2 x e^{2 t} d t + (1 + e^{2 t}) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 x e^{2 t} d t$ dos dois lados da equação.

$(1 + e^{2 t}) d x = - 2 x e^{2 t} d t$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ .

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{2 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $1 + e^{2 t}$ de $(1 + e^{2 t}) x$ .

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) (x)} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (1 + e^{2 t}) d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (- 2 x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{x} d x = - 2 \frac{1}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{(1 + e^{2 t}) x}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{(1 + e^{2 t}) x} (x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $x$ de $(1 + e^{2 t}) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $x e^{2 t}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x (e^{2 t})) d t$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{x (1 + e^{2 t})} (x e^{2 t}) d t$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2}{1 + e^{2 t}} e^{2 t} d t$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 2}{1 + e^{2 t}}$ e $e^{2 t}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{2 e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}} d t$

Etapa 4.3.4

Deixe $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ . Depois, $d u_{2} = 2 e^{2 t} d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 t} d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Deixe $u_{2} = 1 + e^{2 t}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $1 + e^{2 t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]$

Etapa 4.3.4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{2 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Etapa 4.3.4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Etapa 4.3.4.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 4.3.4.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 4.3.4.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$0 + e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 4.3.4.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3.4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + e^{2 t} (2 \cdot 1)$

Etapa 4.3.4.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + e^{2 t} \cdot 2$

Etapa 4.3.4.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$0 + 2 e^{2 t}$

Etapa 4.3.4.1.4

Some $0$ e $2 e^{2 t}$ .

$2 e^{2 t}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + e^{2 t}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| x |) = - \ln (| 1 + e^{2 t} |) + C$