Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Etapa 1.2

Presuma que $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Etapa 1.3

Combine $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e $\sqrt{y^{2}}$ em um único radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 1.4

Divida $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Divida a fração $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Etapa 6.1.1.1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Etapa 6.1.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Etapa 6.1.1.1.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Etapa 6.1.1.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Etapa 6.1.1.1.1.5

Reescreva $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ como ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Etapa 6.1.1.1.1.5.2

Fatore a potência perfeita $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.1.1.1.1.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Etapa 6.1.1.1.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Etapa 6.1.1.1.1.7

Combine $\frac{1}{V}$ e $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Etapa 6.1.1.1.2

Para escrever $V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Etapa 6.1.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Etapa 6.1.1.1.4

Multiplique $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Divida a fração $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ em duas frações.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $V^{2}$ e $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.2.1

Fatore $V$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.2.2.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2.2.2

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2.2.3

Cancele o fator comum.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2.2.4

Reescreva a expressão.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.2.2.2.5

Divida $V$ por $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Etapa 6.1.1.2.3

Combine os termos opostos em $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.3.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Etapa 6.1.1.2.3.2

Some $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Combine.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Multiplique $\sqrt{1 + V^{2}}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.1

Multiplique $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.2

Eleve $\sqrt{1 + V^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.3

Eleve $\sqrt{1 + V^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6

Reescreva ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ como $1 + V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + V^{2}}$ como ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2.6.5

Simplifique.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.3

Combine.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Fatore $V$ de $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Etapa 6.1.4.4.2

Fatore $V$ de $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Etapa 6.1.4.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Etapa 6.1.4.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Etapa 6.1.4.5

Multiplique $\sqrt{1 + V^{2}}$ por $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Etapa 6.1.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ por $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.7

Eleve $\sqrt{1 + V^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.8

Eleve $\sqrt{1 + V^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11

Reescreva ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ como $1 + V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + V^{2}}$ como ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.11.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.11.5

Simplifique.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.12

Cancele o fator comum de $1 + V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Etapa 6.1.4.12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Deixe $u = 1 + V^{2}$ . Depois, $d u = 2 V d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u = 1 + V^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + V^{2}$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Some $0$ e $2 V$ .

$2 V$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Etapa 6.3.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Etapa 6.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Etapa 6.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

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Etapa 6.3.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Etapa 6.3.3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \ln (| x |) + C$ e $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Etapa 6.3.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Etapa 6.3.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Etapa 6.3.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Simplifique $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Eleve $\ln (| x |) + C$ à potência de $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 8.3.2.1.2

Eleve $\ln (| x |) + C$ à potência de $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Etapa 8.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Etapa 8.3.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Etapa 8.3.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Etapa 8.3.2.1.7

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.7.1

Reordene $\ln (| x |)$ e $x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Etapa 8.3.2.1.7.2

Reordene $x \ln (| x |)$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 9.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 9.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.2.1

Simplifique $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Eleve $\ln (| x |) + C$ à potência de $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Etapa 9.3.2.1.2

Eleve $\ln (| x |) + C$ à potência de $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Etapa 9.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Etapa 9.3.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Etapa 9.3.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 9.3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

Etapa 9.3.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

Etapa 9.3.2.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.8.1

Mova $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

Etapa 9.3.2.1.8.2

Reordene $- 1 x \ln (| x |)$ e $- C x$ .

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

Etapa 9.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - C x - x \ln (| x |)$

Etapa 10

Liste as soluções.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$