Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Etapa 4.5

Simplifique.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.2.1

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.14

Mova $v^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Etapa 4.16

Combine $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Etapa 4.17

Reescreva $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Etapa 4.18

Multiplique $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Etapa 4.19

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 4.23

Some $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{1} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.5

Simplifique $- 5 v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v \cdot - 2 = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{x \cdot 5}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.3.2.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 \cdot x}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Etapa 6.1.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.2.2.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.1.3.2.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.2.2.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.3.3.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.3.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.3.5

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.4

Simplifique $- \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 x}{2}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Etapa 6.1.3.5.2

Fatore $2$ de $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Etapa 6.1.3.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Etapa 6.1.3.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - 5 x \cdot - 1$

Etapa 6.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = 5 x$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 10$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int 10 d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{10 x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{10 x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{10 x}$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + e^{10 x} (10 v) = e^{10 x} (5 x)$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = e^{10 x} (5 x)$

Etapa 6.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 v e^{10 x} = 5 x e^{10 x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{10 x} v] = 5 x e^{10 x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{10 x} v] d x = \int 5 x e^{10 x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{10 x} v = \int 5 x e^{10 x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

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Etapa 6.7.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{10 x} v = 5 \int x e^{10 x} d x$

Etapa 6.7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x (\frac{1}{10} e^{10 x}) - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Etapa 6.7.3

Simplifique.

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Etapa 6.7.3.1

Combine $\frac{1}{10}$ e $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x \frac{e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Etapa 6.7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{10 x}}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Etapa 6.7.3.3

Combine $\frac{1}{10}$ e $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{e^{10 x}}{10} d x)$

Etapa 6.7.4

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - (\frac{1}{10} \int e^{10 x} d x))$

Etapa 6.7.5

Deixe $u = 10 x$ . Depois, $d u = 10 d x$ , então, $\frac{1}{10} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.7.5.1

Deixe $u = 10 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.7.5.1.1

Diferencie $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 6.7.5.1.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Etapa 6.7.5.1.4

Multiplique $10$ por $1$ .

$10$

Etapa 6.7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int e^{u} \frac{1}{10} d u)$

Etapa 6.7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Etapa 6.7.7

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} (\frac{1}{10} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.7.8

Simplifique.

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Etapa 6.7.8.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10 \cdot 10} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.8.2

Multiplique $10$ por $10$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$

Etapa 6.7.10

Reescreva $5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$ como $5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$

Etapa 6.7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Etapa 6.7.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.1.1

Combine $\frac{1}{10}$ e $x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x}{10} e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Etapa 6.7.12.1.2

Combine $\frac{x}{10}$ e $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Etapa 6.7.12.1.3

Combine $e^{10 x}$ e $\frac{1}{100}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Etapa 6.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{10} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Etapa 6.7.12.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.3.1

Fatore $5$ de $10$ .

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 (2)} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Etapa 6.7.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 \cdot 2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Etapa 6.7.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Etapa 6.7.12.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{10 x}}{100}$ para o numerador.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{100} + C$

Etapa 6.7.12.4.2

Fatore $5$ de $100$ .

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 (20)} + C$

Etapa 6.7.12.4.3

Cancele o fator comum.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 \cdot 20} + C$

Etapa 6.7.12.4.4

Reescreva a expressão.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + \frac{- e^{10 x}}{20} + C$

Etapa 6.7.12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} - \frac{e^{10 x}}{20} + C$

Etapa 6.7.13

Reordene os termos.

$e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ por $e^{10 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ por $e^{10 x}$ .

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{10 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{10 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.1.1.2

Divida $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{10 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.1.2.2

Divida $- \frac{1}{20}$ por $1$ .

$v = \frac{1}{2} x - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.2

Subtraia $\frac{1}{20}$ de $\frac{1}{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.2.1

Reordene $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$v = x \frac{1}{2} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.2.2

Para escrever $x \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20}{20}$ .

$v = x \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.2.3

Combine $x \frac{1}{2}$ e $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.3.2.1

Fatore $2$ de $20$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (10)) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 10) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$v = \frac{x \cdot 10 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.3.3

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.4

Para escrever $\frac{10 x - 1}{20}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.5

Para escrever $\frac{C}{e^{10 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 6.8.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $20 e^{10 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.8.3.6.1

Multiplique $\frac{10 x - 1}{20}$ por $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 6.8.3.6.2

Multiplique $\frac{C}{e^{10 x}}$ por $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{e^{10 x} \cdot 20}$

Etapa 6.8.3.6.3

Reordene os fatores de $e^{10 x} \cdot 20$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.8.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{10 x e^{10 x} - 1 e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.8.2

Reescreva $- 1 e^{10 x}$ como $- e^{10 x}$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Etapa 6.8.3.8.3

Mova $20$ para a esquerda de $C$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$