Cálculo Exemplos

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ por $4 t x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ por $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Divida $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{x}{4 t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{x}{4 t}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Etapa 3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| t |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Etapa 3.5.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Etapa 3.5.4.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Etapa 3.5.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Etapa 3.5.4.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.5

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Etapa 3.5.4.2.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Etapa 3.5.4.2.7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 3.5.4.2.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$