Cálculo Exemplos

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} + y - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.4.2

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

Etapa 1.4.3

Some $2 x y + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x y + 1)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x y + 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.3.8.1

Multiplique $x y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

Etapa 2.3.8.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x (x y + 1)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

Etapa 5.3

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.2.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \frac{x y^{2}}{2} + y$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x y^{2}}{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.7

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.8

Some $\frac{y^{2}}{2}$ e $0$ .

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.9

Combine $x$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.10

Multiplique $\frac{x y^{2}}{2} + y$ por $1$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.11

Some $\frac{x y^{2}}{2}$ e $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.12

Combine $2$ e $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.3.13.2

Divida $x y^{2}$ por $1$ .

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

Etapa 9.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x y^{2}$ e $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

Etapa 9.1.3.3

Some $y - x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

Etapa 9.1.3.4

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Etapa 9.1.3.5

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 10.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.3

Multiplique $x \frac{x y^{2}}{2}$ .

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Etapa 12.3.1

Combine $x$ e $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$