Cálculo Exemplos

$y (y + 2 x - 2) d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (y + 2 x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y + 2 x - 2)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y + 2 x - 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y + 2 x - 2] + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2 x - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (y + 2 x - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (y + 2 x - 2) \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Multiplique $y + 2 x - 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + y + 2 x - 2$

Etapa 1.3.8.2

Some $y$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x - 2$

Etapa 1.3.8.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y - 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Etapa 2.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x + y)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x + 2 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y - 2 = - 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x + 2 y - 2 = - 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 x + 2 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 + 2}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- 2 (x + y)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- 2 (x + y)$ por $N$ .

$\frac{2 x + 2 y - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2 x + 2 y - 2 + 2$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y) - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y) - 2 + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.4

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x + y) + 2 (- 1) + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $2 (x + y) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x + y - 1) + 2}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x + y - 1) + 2 (1)}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.7

Fatore $2$ de $2 (x + y - 1) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{- 2 (x + y)}$

Etapa 4.3.2.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.8.1

Fatore $2$ de $- 2 (x + y)$ .

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{2 (- (x + y))}$

Etapa 4.3.2.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + y - 1 + 1)}{2 (- (x + y))}$

Etapa 4.3.2.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + y - 1 + 1}{- (x + y)}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{x + y + 0}{- (x + y)}$

Etapa 4.3.3.2

Some $x + y$ e $0$ .

$\frac{x + y}{- (x + y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $x + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + y}{- (x + y)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 4.3.4.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - 1 d x}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y (y + 2 x - 2) d x - 2 (x + y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y (y + 2 x - 2)$ por $e^{- x}$ .

$y (y + 2 x - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y \cdot y + y (2 x) + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$(y^{2} + y (2 x) + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y^{2} + 2 y x + y \cdot - 2) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$(y^{2} + 2 y x - 2 \cdot y) e^{- x} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2 (x + y)$ por $e^{- x}$ .

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x - 2 (x + y) e^{- x} d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x + (- 2 x - 2 y) e^{- x} d y = 0$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d x + (- 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - 2 x e^{- x} - 2 y e^{- x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int - 2 x e^{- x} d y + \int - 2 y e^{- x} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C + \int - 2 y e^{- x} d y$

Etapa 8.3

Como $- 2 e^{- x}$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2 e^{- x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C - 2 e^{- x} \int y d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + C - 2 e^{- x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{- 2}{2} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y + \frac{- 1}{1} e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- x} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{- x} y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- 2 y \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$- 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$- 2 y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$- 2 y (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 y (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.3.10

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x} y^{2}]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x} y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - y^{2} (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 1 y^{2} e^{- x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.4.9

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + y^{2} e^{- x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 y (x (- e^{- x})) - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + e^{- x} y^{2} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 11.6.4

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 2 e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $2 x y e^{- x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 y e^{- x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x}$

Etapa 12.1.2

Some $2 y e^{- x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{- x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x}$

Etapa 12.1.3

Subtraia $y^{2} e^{- x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $y^{2} e^{- x} + 2 y x e^{- x} - 2 y e^{- x} - 2 x y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$ .

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Etapa 12.1.4.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y x e^{- x}$ e $- 2 x y e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} x y - 2 y e^{- x} - 2 e^{- x} x y + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4.2

Subtraia $2 e^{- x} x y$ de $2 e^{- x} x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x} + 0 + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4.3

Some $y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - 2 y e^{- x} + 2 y e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4.4

Some $- 2 y e^{- x}$ e $2 y e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} + 0 - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4.5

Some $y^{2} e^{- x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{- x} - y^{2} e^{- x}$

Etapa 12.1.4.6

Subtraia $y^{2} e^{- x}$ de $y^{2} e^{- x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = - 2 x e^{- x} y - e^{- x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x y e^{- x} - y^{2} e^{- x} + C$