Cálculo Exemplos

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (y + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (y + 1)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y x$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 1 = y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y + 1}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- (y + 1)$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- (y + 1)$ por $M$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.3.3

Substitua $- (y + 1)$ por $M$ .

$- 1$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Etapa 6.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{- y}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (y + 1)$ por $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 7.5

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $y x - y$ por $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

Etapa 7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y e^{- y} - e^{- y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y e^{- y}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{- y}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.10.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.14

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.15

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.16

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.18

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.19

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.20

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.3.21

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.3.3

Some $x (- e^{- y})$ e $x e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.3.3.1

Reordene $x$ e $- 1$ .

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.3.3.2

Some $- 1 \cdot x e^{- y}$ e $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.3.4

Some $x y e^{- y}$ e $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 12.5.5

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Subtraia $x y e^{- y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $y x e^{- y}$ e $- x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

Etapa 13.1.2.2

Subtraia $e^{- y} x y$ de $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

Etapa 13.1.2.3

Some $- y e^{- y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- y e^{- y}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Etapa 14.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Etapa 14.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.6.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Etapa 14.7

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.7.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.7.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 14.7.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 14.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 14.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 14.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 14.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 14.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Etapa 14.10

Reescreva $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ como $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Etapa 14.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Etapa 14.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 14.12.2

Multiplique $- (- y e^{- y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Etapa 14.12.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Etapa 14.12.3

Multiplique $- - e^{- y}$ .

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Etapa 14.12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Etapa 14.12.3.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 16

Simplifique $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Etapa 16.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$