Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{x^{2}}{1 + x}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.2

Multiplique $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$