Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 1.3

Fatore $y$ de $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 1.4

Reordene $y$ e $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{3 x + 1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3.2

Divida $3$ por $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3 x + 1}{x}$ e $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.2.2

Combine $e^{3 x + \ln (x)}$ e $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.3

Para escrever $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $e^{3 x + \ln (x)}$ de $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $e^{3 x + \ln (x)}$ de $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $e^{3 x + \ln (x)}$ de $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $e^{3 x + \ln (x)}$ de $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.6

Multiplique $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

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Etapa 3.6.1

Combine $e^{3 x + \ln (x)}$ e $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $e^{3 x + \ln (x)}$ por $e^{- 3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Etapa 3.6.2.2

Combine os termos opostos em $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

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Etapa 3.6.2.2.1

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Etapa 3.6.2.2.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 3.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Etapa 3.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Etapa 3.9

Reordene os fatores em $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ por $e^{3 x + \ln (x)}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ por $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$