Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Etapa 1.2

Reordene os termos.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 2

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 2.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Etapa 6.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Etapa 6.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Etapa 6.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 6.6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Simplifique.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2

Simplifique.

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Etapa 6.7.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 6.7.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.7.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 6.7.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} - e^{x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.2

Para escrever $2 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Etapa 7.3.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.5.1

Mova $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Etapa 7.3.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.3.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Etapa 7.3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Etapa 7.3.5.3

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Etapa 7.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Etapa 7.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Etapa 7.3.7

Reordene os fatores em $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$