Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 6.2.2

Mova ${(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 6.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 6.5

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 6.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 8.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Etapa 8.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.6.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0)$

Etapa 8.6.2

Some $- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x^{- 2} + 2 x^{- 3})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3})$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 9.3

Combine os termos.

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Etapa 9.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 9.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 9.3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$

Etapa 9.4

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}})$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.5.1

Para escrever $\frac{2}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.5.2.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 {(\frac{2 x - 1}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 9.5.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.5.5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 9.5.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 9.5.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.5.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 9.5.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Etapa 9.5.5.2

Simplifique.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{2 \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Etapa 9.6

Combine $2$ e $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{1}{\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Etapa 9.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) (1 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 9.8

Multiplique $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.9

Multiplique $- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ por $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.10.1

Para escrever $- \frac{2}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.10.2.1

Multiplique $\frac{2}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.10.2.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 9.10.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2} x^{1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{2 + 1}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(- \frac{2 x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}) x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 2 x + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.4

Fatore $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Etapa 9.10.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.4.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- x) + 2 (1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.10.4.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}} x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.11

Combine $\frac{2 (- x + 1)}{x^{3}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.12

Reduza a expressão $\frac{2 (- x + 1) x}{x^{3}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.12.1

Fatore $x$ de $2 (- x + 1) x$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x^{3}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.12.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.12.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x (2 (- x + 1))}{x \cdot x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.12.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}}}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.13

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 (- x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.14

Combine.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.15

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 1}{x^{2} (2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.16

Reescreva a expressão.

$\frac{(- x + 1) \cdot 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.17

Multiplique $- x + 1$ por $1$ .

$\frac{- x + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.18

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.19

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.20

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.21

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 9.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 1}{x^{2} ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$