Cálculo Exemplos

Diferencie usando a regra do produto, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.

Para escrever ${\displaystyle -1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Combine ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Simplifique o numerador.

Combine frações.

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${\displaystyle x+3}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=1}$.

Como ${\displaystyle 3}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 3}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 0}$.

Simplifique a expressão.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Para escrever ${\displaystyle -1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Combine ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Simplifique o numerador.

Mova o número negativo para a frente da fração.

Combine ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ e ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Combine ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Mova ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Para escrever ${\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}$.

Para escrever ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Escreva cada expressão com um denominador comum de ${\displaystyle 3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}}$, multiplicando cada um por um fator apropriado de ${\displaystyle 1}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Multiplique ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ por ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$ somando os expoentes.

Simplifique ${\displaystyle 2x^1}$.

Multiplique ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ por ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$ somando os expoentes.

Simplifique ${\displaystyle {(x+3)}^1}$.

Some ${\displaystyle 2x}$ e ${\displaystyle x}$.

Fatore ${\displaystyle 3}$ de ${\displaystyle 3x}$.

Fatore ${\displaystyle 3}$ de ${\displaystyle 3}$.

Fatore ${\displaystyle 3}$ de ${\displaystyle 3\left(x\right)+3\left(1\right)}$.

Cancele os fatores comuns.

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ é ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Diferencie.

Diferencie usando a regra do produto, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.