Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x e^{3 x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x e^{3 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Etapa 1.1.5.3

Reordene os termos.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

Etapa 1.1.5.4

Reordene os fatores em $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x e^{3 x}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$12 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$12 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$12 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.2.9

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 1.2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (e^{3 x} \cdot 3)$

Etapa 1.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 4 (3 \cdot e^{3 x})$

Etapa 1.2.3.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 e^{3 x}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (x (3 e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Etapa 1.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 (x (e^{3 x})) + 12 e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $12 e^{3 x}$ e $12 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os termos.

$36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$

Etapa 1.2.4.4

Reordene os fatores em $36 e^{3 x} x + 24 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12 e^{3 x}$ de $36 x e^{3 x} + 24 e^{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12 e^{3 x}$ de $36 x e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 24 e^{3 x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12 e^{3 x}$ de $24 e^{3 x}$ .

$12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12 e^{3 x}$ de $12 e^{3 x} (3 x) + 12 e^{3 x} (2)$ .

$12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{3 x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{3 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 4 x e^{3 x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = 4 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique $4 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 4 (\frac{2}{3}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 3.1.2.1.2

Combine $- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4 \cdot 2}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 3.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 3.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot e^{- 2}$

Etapa 3.1.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 3.1.2.5

Multiplique $\frac{1}{e^{2}}$ por $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{e^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3 e^{2}}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $- \frac{8}{3 e^{2}}$ .

$- \frac{8}{3 e^{2}}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 4 x e^{3 x}$ é $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.7\overline{6}$ na expressão.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 (- 0.7\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $36$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{3 (- 0.7\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot e^{- 2.2\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 27.6 \cdot \frac{1}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.4

Combine $- 27.6$ e $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = \frac{- 27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{e^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{{2.71828182}^{2.2\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.7

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.2\overline{9}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - \frac{27.6}{9.97418245} + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.8

Divida $27.6$ por $9.97418245$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 1 \cdot 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $2.76714408$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{3 (- 0.7\overline{6})}$

Etapa 5.2.1.10

Multiplique $3$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 e^{- 2.2\overline{9}}$

Etapa 5.2.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + 24 (\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}})$

Etapa 5.2.1.12

Combine $24$ e $\frac{1}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 2.76714408 + \frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$

Etapa 5.2.2

Some $- 2.76714408$ e $\frac{24}{e^{2.2\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = - 0.36093183$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.36093183$ .

$- 0.36093183$

Etapa 5.3

Em $- 0.7\overline{6}$ , a segunda derivada é $- 0.36093183$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5\overline{6}$ na expressão.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 (- 0.5\overline{6}) \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $36$ por $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{3 (- 0.5\overline{6})} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot e^{- 1.6\overline{9}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 20.4 \cdot \frac{1}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.4

Combine $- 20.4$ e $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = \frac{- 20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{e^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{{2.71828182}^{1.6\overline{9}}} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.6\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - \frac{20.4}{5.47394739} + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.8

Divida $20.4$ por $5.47394739$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 1 \cdot 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $3.72674389$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{3 (- 0.5\overline{6})}$

Etapa 6.2.1.10

Multiplique $3$ por $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 e^{- 1.6\overline{9}}$

Etapa 6.2.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + 24 (\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}})$

Etapa 6.2.1.12

Combine $24$ e $\frac{1}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 3.72674389 + \frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$

Etapa 6.2.2

Some $- 3.72674389$ e $\frac{24}{e^{1.6\overline{9}}}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 0.65766068$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.65766068$ .

$0.65766068$

Etapa 6.3

Em $- 0.5\overline{6}$ , a segunda derivada é $0.65766068$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{2}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{8}{3 e^{2}})$

Etapa 8