Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

Etapa 1

Deixe $u = \sqrt{3} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{3} \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore ${\sqrt{3}}^{2}$ de $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore ${\sqrt{3}}^{2}$ de ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Reordene $3$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.5.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.6

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.8

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Etapa 2.2.8.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{\sqrt{3}}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{\sqrt{3}}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

Etapa 5

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$