Cálculo Exemplos

$\frac{x + y}{x - y} = x^{2} + y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + y$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1

Expanda $(x - y) (1 + y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.3

Expanda $(- x - y) (1 - y')$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.2

Multiplique $- x (- y')$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.4

Multiplique $- y (- y')$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2

Combine os termos opostos em $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $x y' - y - y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.3

Some $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.4

Some $x y' - y + x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.3

Some $x y'$ e $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.4

Subtraia $y$ de $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3

Fatore $2$ de $2 x y' - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Fatore $2$ de $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.3

Fatore $2$ de $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de ${(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Mova $x$ .

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.4.1

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.2.1

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.5.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.5.1.1

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.5.2.1

Mova $y^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.5.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.7

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

Etapa 5.3.1.8

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

Etapa 5.3.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Etapa 5.3.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Etapa 5.3.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Etapa 5.3.1.9.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Etapa 5.3.1.9.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Etapa 5.3.1.9.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.1.4.1

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Etapa 5.3.1.9.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Etapa 5.3.1.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Etapa 5.3.1.9.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Etapa 5.3.1.9.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.9.2.1

Mova $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Etapa 5.3.1.9.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Etapa 5.3.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.11.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.11.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.11.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.11.2.1

Mova $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.11.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.1.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.2

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

Etapa 5.3.3

Subtraia $2 y' x$ dos dois lados da equação.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Etapa 5.3.4

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $2 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

Etapa 5.3.4.2

Some $4 x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

Etapa 5.3.4.3

Subtraia $2 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5

Fatore $2 y'$ de $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ .

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Etapa 5.3.5.1

Fatore $2 y'$ de $2 y' y x^{2}$ .

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.2

Fatore $2 y'$ de $- 4 y' y^{2} x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.4

Fatore $2 y'$ de $- 2 y' x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.5

Fatore $2 y'$ de $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.6

Fatore $2 y'$ de $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.5.7

Fatore $2 y'$ de $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.3.7

Divida cada termo em $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ por $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.7.1

Divida cada termo em $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ por $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ .

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ .

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Etapa 5.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.3.7.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.7.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.3.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Etapa 5.3.7.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.7.3.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.7.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - (x^{3})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.7

Fatore $- 1$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.8

Fatore $- 1$ de $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.9

Fatore $- 1$ de $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.10

Fatore $- 1$ de $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.2.11.1

Reescreva $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ como $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 5.3.7.3.2.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$