Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Etapa 1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Etapa 3.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Multiplique $n$ por $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $n$ por $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Etapa 3.2

Expanda $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $n^{2}$ por $n$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Mova $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $n$ por $n^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.2.1

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $n^{2}$ por $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Mova $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $n$ por $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Etapa 3.3.2

Some $n^{2}$ e $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$