Cálculo Exemplos

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

Etapa 2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

Etapa 2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

Etapa 2.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

Etapa 2.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

Etapa 2.6.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Etapa 11

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Etapa 12

Combine $\csc (x)$ e $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Etapa 13.2

Combine os termos.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Etapa 13.2.2

Combine $6$ e $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Etapa 13.2.3

Multiplique $7$ por $6$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Etapa 13.2.4

Fatore $2$ de $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Etapa 13.2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 13.2.5.2

Cancele o fator comum.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 13.2.5.3

Reescreva a expressão.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Etapa 13.2.5.4

Divida $21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$