Cálculo Exemplos

$\int {(\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}})}^{\frac{1}{3}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1 - \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{2 (\frac{1}{3})}} d x$

Etapa 1.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 1.3

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 1 - \sqrt[3]{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sqrt[3]{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.1.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.4

Subtraia $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\int - 3 u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 4

Como $- 3$ é constante com relação a $u$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $- 3 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- 3 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{- 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \sqrt[3]{x}$ .

$- \frac{9}{4} {(1 - \sqrt[3]{x})}^{\frac{4}{3}} + C$