Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 3.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Avalie $u$ em $1$ e em $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Some $1$ e $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 9.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 9.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 9.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Etapa 9.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Etapa 9.3.6

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 1}{3}$

Etapa 9.3.9

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$