Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sqrt{4 x + 3}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x + 3}$ como ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}]$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 3$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 9.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 10.3

Mova ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 12

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 14

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 15

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + 0)$

Etapa 16

Simplifique os termos.

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Etapa 16.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 4$

Etapa 16.2

Combine $\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 16.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$