Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Etapa 1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever $h$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + h \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Etapa 1.2

Combine $h$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} \frac{π + h \cdot 2}{2}) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + h \cdot 2) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} h \cdot 2)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.7

Avalie o limite de $\cos (\frac{π}{2})$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2}) - 0$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + h \cdot 2}{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (\frac{π + 2 \cdot h}{2})] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = \cos (h)$ e $g (h) = \frac{π + 2 h}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π + 2 h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{d}{d h} [\frac{π + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $\frac{π + 2 h}{2}$ em relação a $h$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [π + 2 h]) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π + 2 h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [π] + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.5

Como $π$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $π$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.6

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 h$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} (0 + 2)) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.9

Some $0$ e $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 2) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.11.1

Cancele o fator comum.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.11.2

Reescreva a expressão.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [- 0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d h} [- 0]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + \frac{d}{d h} [0]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.2

Como $0$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $0$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2}) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Some $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (\frac{π + 2 h}{2})}{1}$

Etapa 2.4

Divida $- \sin (\frac{π + 2 h}{2})$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (\frac{π + 2 h}{2})$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (lim_{h \to 0} \frac{π + 2 h}{2})$

Etapa 3.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} π + 2 h)$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + lim_{h \to 0} 2 h))$

Etapa 3.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 lim_{h \to 0} h))$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 2 \cdot 0))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Etapa 5.2

Some $π$ e $0$ .

$- \sin (\frac{1}{2} π)$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$